示例：向量与内积

示例，待审核

本文用于展示文章结构、数学公式与代码排版。尚未经过本人的学术审核，知识地图中的对应知识点保持未完成。

本文解决什么问题

内积（dot product）如何计算？这里仅讨论实数向量的标准欧氏内积，通过二维数值示例把符号、计算与代码对应起来。

前置知识：实数运算、求和符号和 Python 列表。

从向量到内积

在本例中，向量是有顺序的数值列表。取两个同维度实数向量 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$，它们的标准欧氏内积为：

$$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle =\mathbf{x}^{\mathsf T}\mathbf{y} =\sum_{i=1}^{n}x_i y_i.$$

其中，$n$ 是向量维度，$x_i$ 与 $y_i$ 是两个向量在第 $i$ 个位置的分量。内积的结果是一个实数。

一次具体计算

令 $\mathbf{x}=(1,2)^{\mathsf T}$、$\mathbf{y}=(3,4)^{\mathsf T}$，则：

$$\mathbf{x}^{\mathsf T}\mathbf{y}=1\times3+2\times4=11.$$

位置	$x_i$	$y_i$	$x_i y_i$
1	1	3	3
2	2	4	8
合计	—	—	11

这组数值为合成示例，不来自医学数据或实验结果。

用代码核对

x = [1, 2]
y = [3, 4]

if len(x) != len(y):
    raise ValueError("向量维度必须相同")

dot_product = sum(a * b for a, b in zip(x, y))
assert dot_product == 11
print(dot_product)

预期输出为 11。这里先核对长度，避免 zip 在两个列表长度不同时仅处理较短部分。

适用条件与局限

本例限定在同维度实数向量与标准欧氏内积。向量分量的含义、尺度及是否经过标准化，仍需要结合具体问题说明。不能仅凭内积数值对医学研究结果作出结论。

内积与余弦相似度也不是同一个量。对非零向量，余弦相似度还需除以两个向量的范数乘积；这个话题留待后续专题展开。

关联知识

• Mathematics & Computing 导读。
• 后续计划：向量范数、矩阵乘法、余弦相似度。

参考资料

• Marc Peter Deisenroth、A. Aldo Faisal、Cheng Soon Ong：Mathematics for Machine Learning 作者官网，可进一步阅读线性代数与解析几何部分。